Matematica discreta Esempi

$\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (6)$

Passaggio 1

Sottrai $\ln (6)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6) = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6)$ .

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Passaggio 2.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) - \ln (6) = 0$

Passaggio 2.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$

Passaggio 3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{x (x + 1)}{6})} = e^{0}$

Passaggio 4

Riscrivi $\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x + 1)}{6}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$ .

$\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$

Passaggio 5.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Passaggio 5.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1.1

Semplifica $6 \frac{x (x + 1)}{6}$ .

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Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 5.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Passaggio 5.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x (x + 1) = 6 e^{0}$

Passaggio 5.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Passaggio 5.3.1.1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Passaggio 5.3.1.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} + x = 6 e^{0}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.1

Semplifica $6 e^{0}$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{2} + x = 6 \cdot 1$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$x^{2} + x = 6$

Passaggio 5.4

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Passaggio 5.5

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 5.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Passaggio 5.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.7

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.7.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.8

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.8.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.8.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 2, - 3$